普朗克常数计算公式,普朗克常数是多少

量子力学史话 01 黑体辐射与普朗克常数的发现

普朗克常数，普朗克自己则称为“作用量因子”，首次出现是在普朗克黑体辐射公式当中，是物理学基本常数，标志着量子时代的开端。叫“作用量子”，是因为与作用量的量纲相同。

量子曙光的前夜

1666年，23岁的艾萨克·牛顿 用棱镜将太阳光折射成七色光带的时候，算是光谱和辐射研究的元年吧。

太阳的可见光光谱

1800年，天文学家赫谢耳 (F. W. Herschel，1739—1822) ，用刚刚发明的水银温度计，在测试太阳光谱各部分热效应时，意外地发现了红外辐射：在人眼可见红色光谱以外的区域（长波方向），温度计温度升得更高。稍后，1801年，注意到硝酸银暴露在阳光下颜色变深这一现象，约翰·里特（Johann Ritter）发现了太阳光谱另一端，紫色区域之外（短波方向）的不可见光：紫外线辐射。

1859年，所有加热的物体在同样的温度下发出同样颜色的光早已为大家熟悉。这一年，海德堡大学的德国物理学家，34岁的古斯塔夫·基尔霍夫（Gustav Kirchhoff）开始对这种受热辐射现象进行理论研究。

他得到如下结论：在相同的温度下，同一波长的辐射本领与吸收系数之比对于所有物体都是相同的，是一个只取决于波长和温度的函数。并在此基础上提出“绝对黑体”的概念，并说明空腔体上开的小孔，接近“理想黑体”。这很好理解：光线一旦进入小孔，就会在空腔内折射过程中被吸收，而好的吸收体就一定是好的辐射体。

基尔霍夫提出了一项任务，成了后来人们所知道的“黑体问题”：在特定的温度下，测量黑体辐射的光谱能量分布，从红外线到紫外线每个波长的能量，从中得出一个公式，这个公式应能把任何一个温度下的这种分布情况再现出来。他的这些思想成为后世的指导方向。

1864 年，英国物理学家丁铎尔用加热空腔充作黑体测定了单位表面积、单位时间内黑体辐射的总能量与黑体温度的关系。1879 年德国物理学家斯特藩 (Joseph stefan，1835—1893) 对英国物理学家丁铎尔和法国物理学家所作的测量数据拟合结果，黑体单位表面积在单位时间内发出的热辐射总能量W，与它的绝对温度T 的四次方成正比，即W=σT^4。这只反应了辐射总能量与温度的关系，没能反映辐射能随频率的分布。

时间到了 1890 年代，电力行业成了当时的高技术行业。开发出最具竞争力的白炽灯，成为PTR（德国帝国理工学院）黑体研发计划和热辐射研究背后的推动力量。这项计划歪打正着，成为了敲开量子世界大门的第一块砖头。

1893 年，德国物理学家维恩(Wilhelm Wien， 1864—1928)从电磁理论和热力学理论出发，得到了维恩位移定律：辐射高峰所对应的波长λ和绝对温度T成反比，即λT=常量。

在黑体辐射领域，维恩做出了杰出的贡献。1896年，在假定辐射能量的频率分布等同于理想气体能量的麦克斯韦速度分布下，推导出了辐射能量密度分布函数=av^3exp(-bv/T)，其中v是光波的频率，T是绝对温度，a，b是常数。在高频段与数据复合良好。这称为维恩公式，或者维恩定律。

1900年6月，英国物理学家瑞利(Rayleigh，1842—1919)发表了黑体辐射理论的研究结果，他假定辐射空腔内的电磁辐射形成一切可能的驻波，基于经典能量均分原理，得出与频率平方成正比的能量分布函数，后被称为“瑞利-金斯公式”，因为金斯对公式做了一点点修正。在低温区与实验数据符合较好，但在高频区发散。埃伦菲斯特 ( P. Ehrenfest，1880—1933)称其为“紫外灾难”。

英国著名物理学家威廉·汤姆生（开尔文男爵）则把与“紫外灾难”相联系的能量均分学说比做经典物理大厦上空的第二朵乌云。但他满怀信心地预言：“对于在19 世纪最后四分之一时期内遮蔽了热和光分子论光芒的这朵乌云，人们在20 世纪就可以使其消散。”开尔文说中了，但他这样说的时候，本意是认为这些问题微不足道，可以在经典物理的范畴内加以解决。他没料到，这小小的乌云却带来了天翻地覆的变化。

量子革命的第一声枪声

普朗克早期的物理思想深受克劳修斯的影响。在他的思想中，熵增加原理，和能量原理一样，是物理学中一条不可缺少的独立定律。然而他并不接受玻耳兹曼对熵的微观解释。这个在他青年时期形成的中心思想，一直主导着他的科学研究，也决定性地影响了他处理黑体辐射问题的方式。

普朗克在1879年完成的慕尼黑大学的博士论文中，对热力学第二定律作了详细的论述。这篇论文并没有引起人们的兴趣，但这并没有阻止他对熵的研究热情。

德国的大学都是国家机构。特别教授（助理教授）和普通教授（全职教授）都是教育部指派和雇用的公务员。1880年，普朗克在慕尼黑大学当上一名编外讲师，没有薪水。他只是得到了教学的权力，以此换取来听他课的学生所交的费用。1880 年6 月14 日，普朗克的《不同温度条件下物体的平衡熵》一文，获得慕尼黑大学授予的特别奖。普朗克是搞理论的，对做实验没有兴趣。而理论物理在当时还未被确立为一门专门学科，所以他得到提升的机会很少。五年时间匆匆而过。

1885年5月，27岁的普朗克收到了基尔大学担任特别教授职位的邀请。他怀疑这是由于他父亲与基尔大学物理学学科主管的友谊，才使他得到了这个职位的。普朗克知道，还有其他一些比他基础更好的人也希望能有晋升的机会。但不管怎样，他接受了这一职位。

1888年11月普朗克收到了一份意外荣誉。对于这份荣誉，他本来并不是第一候选人，甚至连第二候选人也不是。但是由于其他人没有接受，因而普朗克在赫尔姆霍茨的支持下，被要求接任古斯塔夫·基尔霍夫在柏林大学的理论物理教授职位。

1889年春天，赫尔姆霍茨已经不再是大学物理学院的主管，而是在管理着PTR（帝国理工学院）。接替他的是奥古斯特·孔德（August Kundt），孔德虽然与指派普朗克的事情无关，但也还是把他作为一项“绝佳的收获”和“一位光彩夺目的人物”予以欢迎。

从1894 年起，普朗克把注意力转向黑体辐射问题。这一年，73岁的赫尔姆霍茨和只有55岁的孔德相继去世。普朗克在最终被提升至普通教授头衔两年之后，发现自己在年仅36岁时就已经成为了德国顶尖大学的高级物理学家了。同年，他成为德国《物理学年鉴》的理论物理顾问。这个职位具有巨大的影响力，有权否决投递到这家顶尖杂志的所有理论物理稿件。由于感觉责任带来的压力，以及痛失两位同事，普朗克试图从工作中寻找慰藉。

1895 年起，普朗克开始了持续五年之久的关于空腔共振子体系“不可逆辐射过程”的系统研究，其根本目的就是试图论证在这样一个封闭体系内部热辐射过程在严格意义上是不可逆的。最初，他避免明显的原子分子论假定和统计力学方法，希望只从电动力学出发来做到这一点。

普朗克连续发表了两篇论述“共振子”(resonator)与辐射场相互作用的论文。他研究了封闭在一个具有理想反射壁的空腔里的电磁辐射。他假定空腔是由最简单的“共振子”、即线性赫兹振子集聚而成。每个振子各有其频率，其作用如共振器，可以和环境交换相同频率的能量。通过共振子与辐射场的相互作用而建立起平衡态。普朗克假定振子线度极小，即使在一个不大的空腔中，也可以忽略它的具体结构而把它视为点偶极辐射中心。

1897 年2月，普朗克在柏林普鲁士科学院的会议上宣读了他《关于不可逆辐射过程》研究的第一篇正式报告，论证空腔共振子体系电磁过程的不可逆性。普朗克认为只要电动力学就够了，不必考虑统计方法，导致玻耳兹曼的批评。玻耳兹曼指出，普朗克肯定达不到他的目的，因为只根据麦克斯韦方程，空腔内的电磁过程完全是可逆的。尽管普朗克用电动力学观点反驳了玻耳兹曼，他终究还是在这年12 月的《关于不可逆辐射过程》的第三篇报告中，修正了他最初的观点，引进他一向感到厌恶的统计方法，特别是他被迫从他的论敌玻耳兹曼那里借用了一个关键性的统计概念“无序性”，证明空腔共振子体系电磁过程的不可逆性。

普朗克是带着对不可逆问题的浓厚兴趣转向黑体辐射研究的，他把熵增加原理置于优先的位置。这体现出普朗克处理问题的特色。普朗克认为热力学第二定律适用于自然界一切过程，一切物体。所以他寻求“振子的能量和熵之间的合适关系，而不是把振子的能量和温度直接联系起来”。

1899 年底，普朗克得知维恩公式仅在短波段内与实验相符，而在长波范围内则有明显的偏离。这说明维恩公式并不是一个真正符合客观实际的辐射公式，需要作进一步的修正。

通过分别对瑞利-金斯公式和维恩公式在长波区和短波区的特点的分析，最终确定系统熵对系统能量的二阶微分和系统能量的二次函数成反比，基于此推导出普朗克黑体辐射公式。这个公式在整个波段和黑体实验数据完全一致。

注意哦，普朗克是从熵增加原理，利用维恩公式以及瑞利-金斯公式，内推得到了一个经验公式。此时此刻，既没有什么“能量子”的假设，也没有用到关于熵的玻尔兹曼微观解释，此时的公式根本没有明确的理论基础，充其量是一个经验公式。后来，普朗克回忆说：“既使这个新的辐射公式竟然能被证明是绝对精确的，但是如果它仅仅是一个侥幸揣测出来的内插公式，那么它的价值也是有限的。由于这个缘故，从它于10 月19 日被提出之日起，即致力于找出这个公式的真正物理意义。这个问题迫使我直接去考虑熵和概率之间的关系，也就是说，把我引向了玻耳兹曼的统计思想”。这和他的理念十分矛盾。

早在1897年5 月的一封信里，普朗克对玻耳兹曼的概率提出过尖锐的批评：“诚然，如果事先一无所知的话，那么概率可用于找出最可几的态。但是如果取定一个已知态，那就不能用它来计算在此之后的态，因为后者不再是由概率而是由力学决定的，并且，自然界中的变化总是沿着由较低概率到较高概率的方向进行的假定，是完全没有根据的。”

现在为了解释他在用类推法导出辐射公式时所使用的熵的二阶导数公式，他不得不转向玻耳兹曼思想，接受熵的概率解释。后来，他为此特意向玻耳兹曼表达了谢意。

早在1877 年，玻耳兹曼就发表了《论热力学第二定律和概率理论之间的关系》的论文，提出了熵的统计解释，指出系统的状态熵和该状态对应的微观状态数的对数成正比。每种微观态表示能量在分子中的一种分配方式，这种方式称为配容(Complexions)，每种配容出现的概率相等。而宏观态指的是能量份额的一种分布，即只要知道包含能量为ε、2ε、…、Mε 的分子相应的分子数就可以了。所以每一宏观态包含若干个微观态，而热力学的平衡态是最可几的状态，是包含微观态数量最多的宏观态。然而值得注意的是，在计算的适当阶段，玻耳兹曼使ε趋于零，这样分子的能量值就是连续的，而不是分立的了。对于玻耳兹曼来说，就像微积分中处理的一样，ε只不过是使计算成为可能的技巧而已。

普朗克利用玻耳兹曼的思想，最终得出黑体辐射能量密度公式：

现在这个通过熵与概率相联系而推得的理论辐射公式居然与普朗克之前得到的经验公式相一致，前提是必须令

而不能像玻耳兹曼那样让ε趋于零。

h 是以比例常数姿态出现的，与振子特性无关。它说明不同频率的振子具有不同的能量子，与其频率成正比。h 的普适性在此已可见一斑。人们称h 为普朗克常量，普朗克把它称为作用量子，因为h和作用量的量纲是一样的。而hv 则称为能量子，每一个频率对应的振子的总能量，必须是这个能量子的整数倍。

这个理论与经典理论如此格格不入，以至于当时的物理学界对它的反映极为冷淡。1900年到1904年的文献中，几乎找不到引用普朗克工作的论文。四年的时间，普朗克的工作几乎被人们遗忘了。普朗克闹了个大寂寞。

人们承认并接受那个与实验数据完美相符的辐射公式，却不接受普朗克的能量子假说。当时没有人意识到，普朗克的能量子假说打响了物理学革命第一枪，但这枪声似乎有点太小了。但这小小的枪声，却如蝴蝶的翅膀，引起了物理学滔天的巨浪。

普朗克本人也依然深受经典物理观念的束缚。他发现了能量子，又试图拒绝它。因为他无法理解能量子，不能理解能量必须分立的深层次物理原因。以至于在量子论已经广为接受，成了国际物理学界的主要思潮后，普朗克却从自己原来的观点中退却下来。

量子理论却飞速地向前发展了。这使普朗克最终不得不放弃退缩的立场。他指出：“因为作用量子揭示了某种至今未知的东西，所以要求我们彻底变革我们旧的物理思想，而这种物理思想是从莱布尼兹和牛顿创立微积分以来一直建立在因果关系的连续性假设上。”