实数集包含哪些数字,实数集是所有数字吗

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中学生课外读物《数的产生与发展》（复数及多元数）

从度量角度长度，我们知道1这个单位是用尽了。有了1，任何线段长度都可度量出来。

但数学内部内容的发展，往往出人意料。

你看一元二次方程x＾2＋4＝0竟然无实根，而有的不是有两个不等实根，就是有两个相等实根。

同样，一元三次方程（x-1）（x-2）（x-3）＝0，有三个实根，但x＾3＝1都只有一个实根。

产生原因是：x∈R时x＾2≥0恒成立。

哪能不能有新数，其平方为负数？那我们就知道这种新数的度量单位不可能是1了。

这种情况下，人们引进了一个新的单位i，它的平方为-1，即i＾2＝-1。

有了这个度量单位后，会发现任一个负数，都有数的平方等于它。事实上，设a＞0，令x＾2＝-a，则∵（±√a×i）＾2＝（±√a）＾2×i＾2＝a×（-1）＝-a。

这样一来，1作为一个度量单位，它的实数倍的平方大于等于0，而i作为一个新的度量单位出现了，它的实数倍的平方小于等于0，其中0×1＝0，0×i＝0。

这样一补充，既有数的平方大于0，又有数的平方等于0，还有数的平方小于0。

从理论上看不就更完美了，这样一来，实系数一元二次方程都有两个解了。

人们就把满足i＾2＝-1中的i叫虚数单位，将bi（b∈R且b≠0）叫纯虚数，将a＋bi（a∈R，b∈R）型的数叫复数，常记为z＝a＋bi（a∈R，b∈R），而把其中的a叫实部，b叫虚部。

我们把所有的复数组成的集合叫复数集，常用C表示。

显然，b＝0时z＝a＋0i＝a＋0＝a∈R，所实数集R是复数集C的真子集。

而z＝a＋bi（a∈R，b∈R）中b≠0时，z不是实数，我们把它称为虚数。

这虚数就是全部新增的数了。实数加上虚数，就变成了复数。

由此数扩展到复数，由于复数涉及到两个度量单位，就有两个实变量：实部和虚部。所以又称复数为双元数。

如1+i，-5-3i，√2＋√3i，（2＋√3）i都是复数，都是虚数，最后一个为纯虚数。

有了复数后，复数如何计算？它们的运算满不满足运算律？有了复数后，又有哪些不能解决的问题变成可解决的了？又有哪些新结论和应用？

这都是要解决的问题。下面逐一简述之。

已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则规定：

z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋d）i，

z1-z2＝（a-c）＋（b-d）i，

（z1）×（z2）

＝（ac＋bdi＾2）＋（ad＋bc）i

＝（ac-bd）＋（ad＋bc）i，

（z1）／（z2）

＝（a＋bi）／（c＋di）

＝（a＋bi）（c-di）／（c＾2-（di）＾2）

＝（ac＋bd）／（c＾2＋d＾2）＋（bc-ad）i／（c＾2＋d＾2）（z2＝c＋di≠0）

即复数加减乘除仍按实数相应法则进行计算，但i＾2应换成-1，含i的项与不含i的项应该分别合并，它们不能混合合并为一项。

如（1+i）＾2／（3-2i）

＝（1＋2i＋i＾2）／（3-2i）

＝2i×（3＋2i）／（（3＋2i）（3-2i））

＝（-4＋6i）／（9＋4）

＝-4/13＋（6/13）i

可以证明，这样定义后，复数的加减乘除运算是封闭的，它们仍满足加乘交换律和结合律及乘法对加法的分配律。包括实数里面的乘法公式都能在复数中运用。

可见数的扩展，在这一步做得相当完美。

有了复数后，一元二次方程均有两个相等或不等的复数根。不会再出现无根情况了。

如x＾2＋x＋1＝0，

配方得：

（x＋1／2）＾2＝-3/4＝（±√3i／2）＾2，

开方得：

x＋1／2＝±√3i／2，

∴x＝-1／2±√3i／2。

还可以证明复数系数一元n次方程有n个复数根（其中包括重根）。

随着复数研究深入，复数及延展理论越来越多，应用越来越广泛深入了。

复数这一多元数的成功引进和应用，极大引起了数学工作者的兴趣，他们尝试构建三元数，四元数及更多元数，最后发现只存在四元数，八元数，十六元数等，且它们的性质比实数、复数的性质变少了，比如乘法不再满足交换律了。

这里不再介绍。

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